原文标题：《Filecoin 与 自然常数 e》

撰文：胡飞瞳

老子曰：「人法地、地法天、天法道、道法自然」。在区块链的实践中，由于是建立 Code is Law 的体系，遵循 In Math We Trust 的法则。在一个不受个体控制的网络，遵循自然的法则尤其重要。我提倡 Filecoin 的设计从简、自然。也是这个道理。

自然常数 e，是一个神奇的数，在数学中又极为自然。本文讲一讲 Filecoin 的共识机制的实现进化与自然常数 e 的关系。

数学常数 e

e 被成为自然常数，在数学家的眼里，这个常数非常自然。但是，对于普通人而言，对于 e，由于没有形象化的描述，就很难理解。本文通过 e 在 Filecoin 中的应用，希望能够找到一些点，能够帮助大家 1）了解 Filecoin 的一些设计；2）通过 Filecoin 得到一点 e 的形象化的描述和印象。

常见的比较复杂的有意思的数学常数有两个，一个是 π，一个是 e。大家对π 都非常熟悉，因为它有一个非常形象化的名字，叫圆周率，也就是说是任何一个圆的周长和直径的比值。非常形象，非常容易理解。小学不学的话，初中总会学到了。

其实 e 是与 π 同等重要的一个数学常数，在数学中的使用一点也不比 π 少。比如就在我们今天所讨论的 Filecoin 区块链中，e 在很多地方被使用，而 π 则不然，基本上没有被用到。

π = 3.1415926535897......

e = 2.718281828459045......

π 和 e 同为超越数，即不是代数数（有理数方程的解），当然也是无理数，无限不循环小数。

但其实，e 和 π 在数学中有非常紧密的关系。甚至可以说，e 就是 π 的另一种表示方法。为什么呢，请看最优雅数学公式 - 欧拉公式：

为什么优雅，这个一个简单的公式把数学中的 5 个元素（0, 1, i, π, e）十分简单地统一在一起了。就像物理学家希望统一力场一样，数学家也有把总结简洁规律的偏执。

这个公式也表达了 e 和 π 的简单直接的关系。当然，他们之间还有一些有意思的关系，比如：

但是，这些仿佛把事情更加复杂化了，对于 e 本身的理解并没有帮助。到底 e 是什么呢？数学中会讲，e 是自然对数的底，它的一个总要特点就是 e^x 的导数还是 e^x，同时，e 可以通过下式来表达和计算：

稍微形象一点的表达，就是在复利的计算上，e 表达一个在一段时间内翻倍增长的利率，进行极限的连续复利计算能够达到的极限值。也就是说，如果年利率是 100%，你如果无限细分一年到 n 个时间段，那么每个时间段的利率为 1/n，而最终你能得到的连本带利的收入为 e 倍，也就是 2.7 倍多一些。

这仍然不够形象，那么下面映射到 Filecoin 的共识机制来看一看。

Filecoin 预期共识与自然常数的关系

先来复习一下 Filecoin 白皮书里面描述的预期共识。在 go-filecoin 的早期实现中，采用的是简单的预期共识，也就是说，每一个矿工按照自己的算力与总算力的比来获得出块权的概率。因为所有矿工的算力之和等于总算力，所以系统每一轮的总出块概率的期望值为 1。简单来说，就是每一轮平均出一个块，但是，每个矿工独立计算，因此，每一轮的出块数可能是各种各样的。

那么在这种情况下，我们建立一个简单（也是有效的）模型来进行一个推演。假设系统中的矿工数为 n，每个矿工的算力占比为 1/n，那么，每一轮呢每个矿工的出块概率为 1/n。

这样，一轮中出现空块的概率为：

如果 n 足够大，那么，可以求得：

也就是空轮的概率超过三分之一，这个就太高了。

那么出块数为 1 的概率有多大呢，可以简单做如下计算：

仍然只有三分之一多一点。剩下的不到三分之一的概率都是多块的轮次。这个结论与开发网当时的测试是完全吻合的。

从这里，我们找到了一个对于自然常数 e 的一个更形象化的解释，那就是：在一个有很多人（大数）参与的独立投票选举中，每个人的赢得选举的概率相同，同时预期赢得选举人数为 1 的情况下，不能得出选举结果的概率为 e 的倒数，也就是 1/e。

预期共识的实现是一个不断发现的过程

开发网出现的空块率过高的情况，我们做了模拟，并与 Filecoin 研究开发团队进行了讨论。显然，这么高的空块轮次比例是不好的，这是的区块时间不固定，交易时间预测起来也比较困难。

那么，一个简单的改动是什么呢？那就是增加每一轮的区块预期数量。因为预期共识本来一轮就可能出现多个区块，在实现中采用 tipset 的方式进行组合，那么增加区块的预期数量，对于设计实现而言非常简单。

在测试网之前，Filecoin 实现引入了预期每轮区块数这个概念，这个被定义为 E （ExpectedBlocksPerEpoch）。当前默认：E = 5

既然，预期区块数提高了，最简单的方法就是把每个矿工的出块概率提高 5 倍。但是，矿工出块的计算采用掷骰子的方式。也就是产生一个 256 位空间中的一个数，来比较自己的算力占比，从而判断是否拥有出块权。这里就有一个数据越界的问题。Filecoin 的实现在这个判断上走过三个阶段：

阶段一：每个矿工按照自己的算力再进行切分，分别按照更小的份额进行选举，如果赢得选举就获得一票。相同默认算力都按照每 25 个 sector 来进行统一切分（剩余部分单独算）。这个办法的好处是每一个选举人算力都基本一样，进行公平选举。但是，由于每 25 个 sector 都要进行单独计算，每一个部分都需要 I/O 访问，时间消耗较大。Filecoin 团队的最初目的是把这个出块权和时空证明放在一起。但是，最后从安全的角度来考虑，由于计算相对复杂，还是放弃了。

阶段二：直接极致简化，不考虑越界的问题，直接乘以 5 进行比较计算。这个是在时空证明已经通过 WindowedPoSt 替代 SurprisedPoSt 的情况下的一个简化措施。但是，这样做有两个问题：1）对于算力大于 20% 的矿工肯定是吃亏的；2）当矿工算力足够大时，一定能够赢得选举。这第二个问题比较严重。我们慎重提出，这是一个安全问题，应该改。

阶段三：采用密码抽签的方式，借鉴 Algorand 采用的算法。逐渐走向完善。

让每一个字节都参与投票

Algorand 的密码抽签是一个非常好的概率分布在选举上的应用，对于区块链 PoS 网络而言，非常棒。实现起来比较简单直接。其具体算法如下：

这里不做详细解释，需要的人可以查询相关资料。简单地说，就是在 PoS 选举过程中，当你凭借自己产生的可验证随机数进行抽签的时候，可以通过你自己的份额和相应二项式分布来看你落在哪一个区间，从而判断你获得了多少选票。

二项式分布是 n 个相同概率的独立时间单独计算而后相加的一个分布，而且整个分布正好切分整个概率空间。因此只需要看你的可验证随机数在那个空间就可以了（这个部分比较难说清楚，有意者线下探讨）。

那么对于 Filecoin 而言，参与选举的份额就是你的算力。如果按照前文中说的阶段二的方式，可以再进行细分，那么可以考虑为每一个字节都参与投票。这样一来，参与投票的选举人数量非常大，整个计算不用采用二项式分布，完全可以采用泊松分布来进行计算。泊松分布的计算公式如下：

这里 λ 是自己的份额与预期总选举票数的乘积。在 Filecoin 中，它就是

E*mPow/totPow；k 是获得选举权的数量。

看一下上式，是不是很神奇？自然常数 e 再一次用到了 Filecoin 的选举的计算之中。采用泊松分布进行计算是 Filecoin 的一个改进，非常符合 Filecoin 的特点，同时计算也非常简单。

采用密码抽签之后，就不能保证每一轮都一定会有矿工拿到出块权了，这很正常，因为每个人都自己掷骰子，出块权的计算是独立的。这样的话，实际上每一轮赢得不同的出块选票的概率有多大呢？简单做一个模拟可以得出下表：

这里空轮的概率是 e^-5。

也就是说，预期大约不到 200 个高度就会出现一个空轮。看起来还好。而每轮选票数为 3，4，5，6，7 分布较多也比较均匀。选票数高达 15 张的情况也不少，大概万分之 1.6。

看到这里（如果你真的有耐心看到这里），您可能会想，e 是不是与概率的关系比较大，其实我可以告诉你，π在有些时候也会用到概率计算之中。因为这两个常数就是有牵扯不清的关系。

Filecoin 中自然常数不仅仅用于选举

自然常数 e 在选举之中的使用，至此显得非常自然，而且也比较优雅。

同时，Filecoin 在 Token 释放上，也利用 e 进行计算。这个与概率无关，而是与衰减有关。Filecoin 不采用周期性减半的方式进行 Token 释放，而是模仿放射性衰减，也就是指数衰减。白皮书设计为 6 年减半。而一般说来，衰减的公式可以写为：

上式可以理解为：初始 Token 为 N0，随时间推移，系统通过释放，在 t 时间点系统中还应该保留的 Token 量 N(t) 的计算公式。

看这里，再一次出现了自然常数 e。当然这里不一定非要用 e 的。但是由于 e 的使用非常广泛了，用起来方便顺手。所以基本上现在这是一种统一的用法。