Balancer V2

Balancer 的交易函数定义如下：

由此可得不变式为：

推导出Δ2 的表达式为：

边际价格为：

当 Δ1->0 时，

权重ω1，ω2 也代表两种代币总市值的占比，如果指定ω1=ω2=1/2，那么该池就等价于 Uniswap 的池子。
特别的，Balancer 允许至多 8 种代币的混合池，当代币种类大于两种时，其交易函数扩展为：

其他推导步骤也可类似地拓展到多币的情形，推导步骤在此略过。

Curve V2

Curve 协议的交易函数是恒定和函数和恒定积函数的线性组合：

类似的，我们可以推导出边际价格，当 Δ1->0 时，

价格影响和滑点

根据上一步得出的边际价格公式，我们可以通过比较单次交易前后边际价格的变化，来定义这次交易的价格影响。比较三种协议的价格影响，我们能得出以下结论：假定交易同等数量的代币 1，设定ω1 越高的 Balancer 池，其价格影响越大，如果ω1>1/2，那么价格影响大于相同交易在 Uniswap 池中的影响，反之亦然。而在平衡点附近（即价格偏移不严重） Curve V2 的价格影响最小。

在下面的例子中，我们比较四个不同池子的单次交易价格影响，假设初始池中代币总量 R1=R2=10000：

• 一个 Uniswap V3 池，初始价格为 1
• 一个 Balancer V2 池，ω1=0.4,ω2=0.6，初始价格为 0.666
• 一个 Balancer V2 池，ω1=0.6,ω2=0.4，初始价格为 1.5
• 一个 Curve V2 池，α=1,β=3，初始价格为 1

四个池子的价格影响曲线如下图所示：

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